Modelo GJR‑GARCH
Fundamento teórico: del ARCH al GARCH
Del ARCH al GARCH: por qué la varianza no es constante y cómo se modela.
Por qué la varianza no es constante
Los modelos econométricos clásicos asumen homocedasticidad: una varianza del error constante en el tiempo. Sin embargo, las series financieras muestran regularidades empíricas (Cont, 2001) que contradicen ese supuesto: agrupamiento de volatilidad (periodos de alta o baja volatilidad tienden a persistir), colas pesadas (más eventos extremos que en una normal) y heterocedasticidad condicional (la varianza, condicionada al pasado, cambia en el tiempo). Estas regularidades motivaron el desarrollo de los modelos ARCH y, posteriormente, GARCH.
Engle (1982)
El primer modelo formal de heterocedasticidad condicional autorregresiva ARCH fue propuesto por Robert F. Engle (1982). Engle (1982) introdujo una nueva clase de procesos estocásticos en los que la varianza condicional del término de error depende de los errores al cuadrado observados en periodos anteriores.
Su principal limitación es que, para capturar bien la persistencia de la volatilidad, suele requerir muchos rezagos q, con el consecuente costo en grados de libertad (Engle, 1982). Esta limitación es precisamente lo que motiva la generalización propuesta por Bollerslev (1986).
El modelo GARCH y su límite
Bollerslev (1986)
Con el fin de superar esta limitación, Bollerslev (1986) propuso una generalización del modelo ARCH, denominada GARCH, en la que la varianza condicional depende no solo de los errores al cuadrado pasados, sino también de sus propios valores rezagados. Esta extensión es conceptualmente análoga a la manera en que un proceso ARMA generaliza a un proceso autorregresivo puro (Bollerslev, 1986).
Un modelo GARCH(p,q) se define como:
Donde:
- α₀ : constante o intercepto del modelo, con α₀ > 0.
- αᵢ : coeficiente que pondera el efecto del shock rezagado i sobre la varianza actual, con αᵢ ≥ 0.
- ε²t−i : error (innovación) al cuadrado observado i periodos atrás; captura el impacto de los shocks pasados.
- σ²t−j : varianza condicional rezagada j periodos; es la memoria propia del modelo sobre su volatilidad pasada.
- βj : coeficiente que pondera el efecto de la varianza rezagada j sobre la varianza actual, con βj ≥ 0.
- p : número de rezagos de la propia varianza condicional incluidos en el modelo.
La especificación más utilizada en la práctica —y prácticamente un estándar en la modelación de series financieras— es el GARCH(1,1):
En esta versión, α₁ mide el efecto del último shock (ε²t−1) y β₁ mide cuánto persiste la volatilidad del periodo inmediatamente anterior (σ²t−1). La ventaja central del modelo GARCH frente al ARCH es su parsimonia: con un número reducido de parámetros —típicamente tres en la especificación (1,1)— es posible representar dinámicas de persistencia en la volatilidad que un modelo ARCH puro solo lograría replicar con un número mucho mayor de rezagos (Bollerslev, 1986).
La asimetría que no captura
El GARCH estándar responde solo a la magnitud del shock pasado (ε²t−1), sin distinguir su signo: una buena y una mala noticia de igual magnitud afectan igual a la volatilidad futura. Sin embargo, la evidencia empírica muestra una asimetría sistemática —el efecto apalancamiento (leverage effect), identificado por Black (1976)—: las malas noticias elevan la volatilidad futura más que las buenas de magnitud comparable, en parte porque una caída en el precio de las acciones incrementa el apalancamiento financiero de la empresa y, con ello, su riesgo percibido.
Como el GARCH simétrico no captura esta respuesta diferenciada, surgieron especificaciones alternativas como el modelo de Glosten, Jagannathan y Runkle (1993) —GJR-GARCH—, que añade un término para el impacto diferencial de los shocks negativos sobre la varianza condicional.
Modelo GJR-GARCH(1,1)
Glosten, Jagannathan y Runkle (1993)
El modelo GJR-GARCH fue propuesto en 1993 por Lawrence Glosten, Ravi Jagannathan y David Runkle con el objetivo de mejorar el modelo GARCH tradicional. Su principal aporte fue corregir una limitación importante del modelo original, que no diferenciaba entre buenas y malas noticias en el mercado. Por eso, este modelo busca representar de forma más realista cómo cambia la volatilidad, especialmente en situaciones de caídas, lo que lo hace más útil para valorar derivados financieros y para la gestión del riesgo en inversiones.
Las dos ecuaciones
El modelo matemático debe presentarse en dos partes: la ecuación de la media (de dónde salen los errores) y la ecuación de la varianza condicional (el modelo GJR-GARCH).
El rendimiento del activo
Antes de calcular la volatilidad, se debe definir el comportamiento del rendimiento del activo rt:
Donde:
- rt : Rendimiento en el tiempo t
- μt : Media condicional
- εt : El residuo, error o shock del mercado en el tiempo t
El residuo se define como:
donde Zt es una variable aleatoria independiente e idénticamente distribuida (i.i.d.) con media 0 y varianza 1:
El término asimétrico
El modelo GJR-GARCH(1,1) amplía la ecuación clásica de varianza añadiendo un término adicional diseñado específicamente para capturar choques asimétricos. La estructura matemática es la siguiente:
- σt²: varianza o volatilidad en el periodo t
- ω: Omega es la variación base a largo plazo.
- α: Alfa es el impacto del choque previo (la parte simétrica).
- β: Beta es la persistencia de la volatilidad (la memoria del modelo).
- γ: Gamma es el parámetro de asimetría, el corazón del modelo.
- ε²t-1: representa el error o shock del modelo, es decir, la diferencia entre el valor observado y el esperado.
- It-1: variable indicadora
Un interruptor para las malas noticias
It-1 es una función "dummy" o interruptor que toma los siguientes valores:
- It-1 = 1 si εt-1 < 0 (Mala noticia / Retorno negativo).
- It-1 = 0 si εt-1 ≥ 0 (Buena noticia / Retorno positivo o cero).
Buenas vs. malas noticias
Es decir, cuando hubo una subida en el mercado, la volatilidad se calcula de manera normal con los términos omega, alfa y beta, que representan el nivel base, el impacto del shock pasado y la influencia de la volatilidad pasada.
El modelo GJR-GARCH incorpora una función indicadora que permite distinguir entre shocks positivos y negativos. Cuando el shock es negativo, se activa un término adicional representado por el parámetro γ, aumentando el impacto total sobre la volatilidad a α+γ.
Máxima verosimilitud
Los parámetros ω, α, β y γ se estiman a partir de datos históricos mediante el método de máxima verosimilitud, el cual busca los valores que mejor explican los datos observados. En la práctica, este proceso se realiza con herramientas como R o Python, que calculan automáticamente los parámetros óptimos.
Igual choque, distinto efecto
Supongamos los siguientes valores: ω = 0.02, α = 0.05, β = 0.90 y γ = 0.08, con una varianza previa de 1.
Este resultado muestra que, ante un choque de igual magnitud, la volatilidad es mayor cuando la noticia es negativa, lo que refleja el efecto de asimetría del modelo.
Para que el modelo funcione bien
Para que el modelo GJR-GARCH funcione bien y no dé errores, debe cumplir dos condiciones.
La volatilidad nunca es negativa
La varianza siempre debe ser positiva, es decir, la volatilidad nunca puede ser negativa, porque no tendría sentido hablar de "inestabilidad negativa".
Omega debe ser positivo, alfa y beta no pueden ser negativos, y la suma de alfa y gamma tampoco.
Vuelve a un nivel normal
El modelo debe ser estable en el tiempo, lo que significa que la volatilidad no crece sin control, sino que con el tiempo vuelve a un nivel normal. Esto se cumple cuando la suma de los parámetros (alfa, beta y parte de gamma) es menor que uno.
(Nota: Se multiplica gamma γ por ½ asumiendo que la distribución de los residuos es simétrica, por lo que las malas noticias ocurren el 50% de las veces).
Por qué importa la asimetría
El efecto de apalancamiento explica que en los mercados financieros las malas noticias tienen un impacto más fuerte que las buenas. Es decir, cuando los precios bajan, la volatilidad aumenta más que cuando los precios suben en la misma proporción.
Retroalimentación
Existe un efecto de retroalimentación donde la volatilidad genera más miedo, lo que hace que los inversionistas vendan y los precios sigan cayendo.
Reacción a las pérdidas
Las personas reaccionan más fuertes ante las pérdidas que ante las ganancias, lo que provoca pánico en el mercado.
Iliquidez
En momentos de crisis aparecen problemas como falta de liquidez o ventas obligadas, lo que aumenta aún más la inestabilidad.
Ignorar esta asimetría puede ser peligroso, ya que los modelos que no la consideran tienden a subestimar el riesgo cuando el mercado cae. Esto significa que se puede creer que el riesgo es menor de lo que realmente es, especialmente en momentos de crisis.
El modelo GJR-GARCH es importante porque logra capturar esta asimetría de forma sencilla. A través de un parámetro adicional, permite reflejar que los choques negativos generan más volatilidad que los positivos.
¿Cuándo deberías usar GJR-GARCH?
El modelo GJR-GARCH se utiliza cuando se desea analizar la volatilidad en situaciones donde las malas noticias tienen un mayor impacto que las buenas. GJR-GARCH es especialmente valioso cuando:
Mercados bursátiles
Los efectos de apalancamiento son robustos en índices bursátiles y acciones individuales.
Previsión de crisis
Los shocks a la baja requieren respuestas de volatilidad diferentes.
Gestión de riesgos
Los cálculos VaR y ES se benefician de dinámicas asimétricas.
Valoración de opciones
Los sesgos de volatilidad implícita reflejan efectos de apalancamiento.
A pesar de sus ventajas
A pesar de sus ventajas, el modelo GJR-GARCH presenta algunas limitaciones. En primer lugar, solo distingue entre choques positivos y negativos, sin considerar su magnitud relativa. En segundo lugar, puede ser sensible a valores extremos en los datos, lo que afecta la estimación de los parámetros. Finalmente, requiere una cantidad considerable de datos históricos para estimar correctamente el parámetro de asimetría.
Ejercicio en Excel
Se simula el modelo paso a paso para ver cómo la varianza condicional evoluciona y responde a los shocks. Descarga la hoja o experimenta con el simulador en vivo.
Trayectoria de volatilidad simulada
Edita cualquier Zt en la tabla (celdas azules) o genera nuevos shocks, y ajusta los parámetros para ver cómo cambia la volatilidad.
| Obs | Zt | σ²t | σt | εt | I | Precio |
|---|
Ingresos petroleros del Ecuador
Datos mensuales del Banco Central del Ecuador (ene‑2007 a may‑2026). Se modela la volatilidad de los retornos logarítmicos con la librería arch.
Las hipótesis del estudio
No existe un efecto asimétrico significativo en la volatilidad de los ingresos por exportaciones petroleras; las noticias positivas y negativas tienen el mismo efecto sobre la volatilidad.
Existe un efecto asimétrico significativo en la volatilidad de los ingresos por exportaciones petroleras; las noticias negativas generan un incremento mayor en la volatilidad que las noticias positivas.
Serie de ingresos por exportaciones petroleras públicas
Miles de USD · pasa el cursor para ver cada mes.
Retornos logarítmicos de los ingresos
rₜ = ln(Yₜ / Yₜ₋₁) · la serie estacionaria que alimenta el modelo.
El código completo del modelo ▶ Ejecución real · paso a paso
Púlsale Ejecutar y el código correrá celda por celda en el servidor real (con arch, statsmodels y seaborn), mostrando cada salida y cada gráfica. Puedes editarlo antes de correr.
Distribución de los retornos
Histograma real de los 196 retornos logarítmicos.
ACF de los retornos al cuadrado
Autocorrelación hasta 24 rezagos · bandas ±1.96/√n.
Conclusiones
Lo que el estudio permitió establecer sobre la volatilidad de los ingresos petroleros.
El modelo GJR-GARCH permitió analizar la dinámica de la volatilidad de los ingresos por exportaciones petroleras de las empresas públicas del Ecuador. La prueba ARCH-LM confirmó inicialmente la presencia de heterocedasticidad condicional y, tras la estimación, los residuos no presentaron efectos ARCH remanentes, lo que indica un ajuste adecuado. Aunque el parámetro de asimetría no resultó estadísticamente significativo —por lo que no se rechaza la hipótesis nula de ausencia de efecto leverage en esta serie—, el modelo permitió estimar y pronosticar la volatilidad condicional y construir un Índice de Riesgo Petrolero que clasifica los períodos según su nivel de riesgo, una herramienta práctica para el análisis económico y la toma de decisiones en el sector.
Sobre el modelo GJR-GARCH
El modelo GJR-GARCH es un modelo de volatilidad que incorpora asimetría, permitiendo capturar el mayor impacto de las malas noticias sobre el riesgo, siendo ampliamente utilizado en el análisis de mercados financieros.
El modelo GJR-GARCH captura eficazmente el efecto apalancamiento con un solo parámetro adicional, proporcionando una herramienta práctica e interpretable para gestores de riesgos e investigadores que necesitan modelar la volatilidad asimétrica en series de retornos financieros.
Además, destaca por su simplicidad e interpretabilidad, ya que con un solo parámetro adicional mejora significativamente la precisión del modelo, siendo ampliamente utilizado por gestores de riesgo e investigadores en finanzas.
Bibliografía
Fuentes consultadas en el desarrollo teórico.
Black, F. (1976). Studies of stock price volatility changes. Proceedings of the 1976 Meeting of the Business and Economic Statistics Section, 177–181. American Statistical Association.
Bollerslev, T. (1986). Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 31(3), 307–327.
Cont, R. (2001). Empirical properties of asset returns: Stylized facts and statistical issues. Quantitative Finance, 1(2), 223–236.
Engle, R. F. (1982). Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation. Econometrica, 50(4), 987–1007.
Glosten, L. R., Jagannathan, R., & Runkle, D. E. (1993). On the relation between the expected value and the volatility of the nominal excess return on stocks. The Journal of Finance, 48(5), 1779–1801.
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Lakhloufi, H. (2025, mayo 8). GJR-GARCH asymmetric volatility calculator. MetricGate. https://metricgate.com/docs/gjr-garch-model/
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V-Lab: GJR-GARCH Volatility documentation. (s/f). V-Lab. Recuperado el 10 de julio de 2026, de https://vlab.stern.nyu.edu/docs/volatility/GJR-GARCH