Modelo GJR‑GARCH

Por qué la varianza no es constante

Los modelos econométricos clásicos asumen homocedasticidad: una varianza del error constante en el tiempo. Sin embargo, las series financieras muestran regularidades empíricas (Cont, 2001) que contradicen ese supuesto: agrupamiento de volatilidad (periodos de alta o baja volatilidad tienden a persistir), colas pesadas (más eventos extremos que en una normal) y heterocedasticidad condicional (la varianza, condicionada al pasado, cambia en el tiempo). Estas regularidades motivaron el desarrollo de los modelos ARCH y, posteriormente, GARCH.

Engle (1982)

El primer modelo formal de heterocedasticidad condicional autorregresiva ARCH fue propuesto por Robert F. Engle (1982). Engle (1982) introdujo una nueva clase de procesos estocásticos en los que la varianza condicional del término de error depende de los errores al cuadrado observados en periodos anteriores.

Su principal limitación es que, para capturar bien la persistencia de la volatilidad, suele requerir muchos rezagos q, con el consecuente costo en grados de libertad (Engle, 1982). Esta limitación es precisamente lo que motiva la generalización propuesta por Bollerslev (1986).

Bollerslev (1986)

Con el fin de superar esta limitación, Bollerslev (1986) propuso una generalización del modelo ARCH, denominada GARCH, en la que la varianza condicional depende no solo de los errores al cuadrado pasados, sino también de sus propios valores rezagados. Esta extensión es conceptualmente análoga a la manera en que un proceso ARMA generaliza a un proceso autorregresivo puro (Bollerslev, 1986).

Un modelo GARCH(p,q) se define como:

Donde:

• α₀ : constante o intercepto del modelo, con α₀ > 0.
• αᵢ : coeficiente que pondera el efecto del shock rezagado i sobre la varianza actual, con αᵢ ≥ 0.
• ε²_t−i : error (innovación) al cuadrado observado i periodos atrás; captura el impacto de los shocks pasados.
• σ²_t−j : varianza condicional rezagada j periodos; es la memoria propia del modelo sobre su volatilidad pasada.
• β_j : coeficiente que pondera el efecto de la varianza rezagada j sobre la varianza actual, con β_j ≥ 0.
• p : número de rezagos de la propia varianza condicional incluidos en el modelo.

La especificación más utilizada en la práctica —y prácticamente un estándar en la modelación de series financieras— es el GARCH(1,1):

En esta versión, α₁ mide el efecto del último shock (ε²_t−1) y β₁ mide cuánto persiste la volatilidad del periodo inmediatamente anterior (σ²_t−1). La ventaja central del modelo GARCH frente al ARCH es su parsimonia: con un número reducido de parámetros —típicamente tres en la especificación (1,1)— es posible representar dinámicas de persistencia en la volatilidad que un modelo ARCH puro solo lograría replicar con un número mucho mayor de rezagos (Bollerslev, 1986).

La asimetría que no captura

El GARCH estándar responde solo a la magnitud del shock pasado (ε²_t−1), sin distinguir su signo: una buena y una mala noticia de igual magnitud afectan igual a la volatilidad futura. Sin embargo, la evidencia empírica muestra una asimetría sistemática —el efecto apalancamiento (leverage effect), identificado por Black (1976)—: las malas noticias elevan la volatilidad futura más que las buenas de magnitud comparable, en parte porque una caída en el precio de las acciones incrementa el apalancamiento financiero de la empresa y, con ello, su riesgo percibido.

Como el GARCH simétrico no captura esta respuesta diferenciada, surgieron especificaciones alternativas como el modelo de Glosten, Jagannathan y Runkle (1993) —GJR-GARCH—, que añade un término para el impacto diferencial de los shocks negativos sobre la varianza condicional.

Glosten, Jagannathan y Runkle (1993)

El modelo GJR-GARCH fue propuesto en 1993 por Lawrence Glosten, Ravi Jagannathan y David Runkle con el objetivo de mejorar el modelo GARCH tradicional. Su principal aporte fue corregir una limitación importante del modelo original, que no diferenciaba entre buenas y malas noticias en el mercado. Por eso, este modelo busca representar de forma más realista cómo cambia la volatilidad, especialmente en situaciones de caídas, lo que lo hace más útil para valorar derivados financieros y para la gestión del riesgo en inversiones.

Un interruptor para las malas noticias

I_t-1 es una función "dummy" o interruptor que toma los siguientes valores:

• I_t-1 = 1 si ε_t-1 < 0 (Mala noticia / Retorno negativo).
• I_t-1 = 0 si ε_t-1 ≥ 0 (Buena noticia / Retorno positivo o cero).

A pesar de sus ventajas

A pesar de sus ventajas, el modelo GJR-GARCH presenta algunas limitaciones. En primer lugar, solo distingue entre choques positivos y negativos, sin considerar su magnitud relativa. En segundo lugar, puede ser sensible a valores extremos en los datos, lo que afecta la estimación de los parámetros. Finalmente, requiere una cantidad considerable de datos históricos para estimar correctamente el parámetro de asimetría.